Fourier analysis, PDEs: PDEs

Partial Differential Equations (PDEs), terms for math 중 PDEs의 중요한 문제 type 참고

* 별도의 강의노트 없음
* 수업의 진행은 가장 simple한 형태의 wave equation(1D)과 heat equation(1D)에 대해서 알아본 다음 복잡한 형태의 case에 대해서 각각 진행을 하였음.
* 포스팅의 정리는 wave equation에 대한 모든 내용을 정리 후, heat equation에 대한 내용을 정리함.

lecture topic. 1D(x,t): string, vibrating equation
PDE의 정의와 solution of PDE (function) 을 정의하는 variables(시간 and 좌표)
PDE을 이용한 중요한 mathematical topic 중 vibrating string
vibrating string의 modeling을 통한 PDE 유도 + B.C. 적용 + I.C. 적용 => get solution
     vibrating string의 modeling
     through the separating variable, generate the two ODE
     B.C. 적용: 2개의 B.C.을 2개의 ODE에 적용. linear property을 적용한 general solution을 구함.
     I.C. 적용: general solution으로 부터 2개의 I.C.을 만족하는 solution을 Fourier series을 이용 get it!!
PDE vibrating string의 solution 분석; "For same answer, but totally different form"
     - frequency analysis(fixed t, vary x 인 경우): foundamental harmonic, sub harmonic, node
     - wave analysis: u(x, t)는 2개의 wave form이 right or left로 이동하는 결과

lecture topic. 1D(x,t) heat conduction
heat equation(PDE)의 유도 + B.C. 적용 + I.C. 적용 => get solution
     case 1: B.C. u(0, t)=0, u(L, t)=0
          heat equation의 modeling
          through the separating variable, generate the two ODE
          B.C. 적용: 2개의 B.C.을 2개의 ODE에 적용. linear property을 적용한 general solution을 구함.
          I.C. 적용: general solution으로 부터 I.C.을 만족하는 solution을 Fourier series을 이용 get it!!
     case 2: B.C. u(0, t)=U0, u(L, t)=U1: steady-state condition 고려
     case 3: B.C. u_x(0, t)=0, u_x(L, t)=0: steady-state condition 고려
***
case 2에서의 w(x,t)=u(x,t)-vss(x)의 물리적인 의미
G(t)의 general solution 유도과정

lecture topic. 2D(x,y,t) vibrating equation
prerequisite concept
     - Sturm-Liouville equation, Bessel's equation
     *** Sturm-Liouville equa. 특징
          - infinite number of eigenvalue and eigenfunction.
          - eigenfunction are orthogonal over [a, b] w.r.t. the weighting function
     *** Bessel's equa. 특징
          -
subtopic. vibration of a circular
     u=u(x, y, t); displacement of p(x, y) at time t.
          - change coordinate system of PDE: from rectangular to polar
          *** theta가 변수로서 의미를 갖지 못하게 되면서 u=u(r, theta, t)는 u=u(r, t)로 나타낼 수 있다.
          - ODE의 eigen value을 찾아 general solution을 완성하는 과정
               Sturm-liouville equation 형태로 변형
               Bessel's equation (of order 0) 형태로 변형하여 eigen value 결정
               2개의 ODE의 곱으로서 general solution 결정
          - I.C.을 적용하여, a_n과 b_n 값을 결정
         
lecture topic. 2D(x,y,t) heat conduction
prerequisite concept
     -
subtopic. heat conduction in a rectangle domain
     electrostatic potential problem (HW 4, 12.5 28 참고)

subtopic. heat conduction in a circular domain

* refer. PDE (wave equation, heat equation) case별 공식정리

PDE(waveandheatequation)공식정리.doc